红黑树
注：在学习红黑树之前，建议先对avl树具备一定的了解
1. 红黑树的性质
和avl树一样，红黑树也是一棵自平衡的搜索二叉树
如上图，就是一棵经典的红黑树，以下是他的性质：
- 红黑树同样是一棵搜索二叉树，其满足搜索二叉树的所有性质：
每个节点的左右子树都是一棵搜索二叉树
左孩子的键值比父亲的小；右孩子的键值比父亲的大
红黑树的每个节点的左右子树也都是红黑树
红黑树的每个节点都有一个颜色，且要么是红色要么是黑色；空节点被视作黑色节点
红黑树的根节点的颜色必须是黑色
红黑树每条路径的黑色节点个数必须相等
红黑树的红色节点不能连续出现
由性质5和性质6，我么可以推导出红黑树的平衡特性：
红黑树的最长路径的长度不会超过最短路径的两倍
2. 了解操作
2.1 红黑树节点类的定义：
//定义一个枚举类，用于表示颜色
enum color
{
red,
black
};
//默认该红黑树的存储模型为key_value型
template
struct rbtreenode
{
typedef rbtreenode node;
node* _parent = nullptr;
node* _left = nullptr;
node* _right = nullptr;
pair _kv;
color _color = red; //节点默默的颜色为红色
rbtreenode(const pair kv)
: _kv(kv)
{
}
};
2.2 插入节点
2.1.1 找到插入位置
既然红黑树也是一棵搜索二叉树，那么在插入新节点之前，首先肯定也要找到插入位置：
bool insert(const pair kv)
{
//如果原来是一棵空树
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
_root->_color = black;
return true;
}
//找到插入位置
node* cur = _root;
node* parent = nullptr;
while (cur)
{
parent = cur;
if (cur->_kv.first > kv.first)
cur = cur->_left;
else if (cur->_kv.first < kv.first)
cur = cur->_right;
else
return false;
}
cur = new node(kv);
cur->_parent = parent;
if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
//……………………
}
2.1.2 新节点颜色
红黑树的每个节点的颜色要么是红色，要么是黑色，那么我们新插入的节点应该是什么颜色？红色，还是黑色，还是红色黑色都可能呢？
我么可以进行假设：
假设新节点的颜色是黑色，如下图：
可以看到，如论黑色节点插入到哪个位置，红黑树的条件都会被打破
- 这是因为：插入之前就是一棵红黑树，那么每条路径的黑色节点个数就一定相同
- 此时在任意位置插入一个黑色节点，就肯定会使一条路径的黑色节点个数多余其他路径，从而破坏红黑树的条件
可见，如果新节点的颜色是黑色，我们是很难在插入后将其还原到满足红黑树的条件的
假设新节点的颜色是红色，如下图：
从图中可以看到：
- 如果父节点的颜色是黑色，那么插入一个红色节点并不会破坏红黑树的条件
- 如果父节点的颜色是红色，那么就会出现“出现连续红色节点”的情况，需要做出调整
总结：
- 虽然插入黑色节点和红色节点都可能会导致红黑树的条件被破坏，但是相较于插入黑色节点必定会破坏红黑树的条件，插入红色节点只会在其父节点也是红色时才会破坏红黑树的条件
- 因此，插入红色节点代价更小，即新节点的颜色默认为红色
接下来，我们就来分析父节点为红色或黑色时的不同插入情况
注意：
红黑树的形态无穷无尽，博主不可能将每种红黑树的插入情况都列举出来
但是，这些所有的情况都可以被分为父节点为黑色和父节点为红色这两类
博主在后面的分析会以一棵具体的红黑树来做示例，讲述节点的插入和后续颜色的调整。至于其他形态的红黑树，只要插入时的情况被归类为某一特定的情况，都可以用相同的方法处理，大家学会处理方法即可
2.1.3 父节点为黑色
插入新节点之前该树就是一棵红黑树，如果新节点的父节点的颜色是黑色，那么插入一个红色节点并不会影响到红黑树的条件
- 红色节点没有连续出现
- 每条路径的黑色节点个数仍然相等
因此，如果新节点的父节点为黑色，插入流程结束
2.1.4 父节点为红色
如果父节点的颜色为红色，那么就要分叔叔节点为红色以及叔叔节点不存在/叔叔节点为黑色这两种情况来讨论
注意：
以下涉及关于旋转的操作均已在avl树中提及，下面只会讲述大概的步骤，并提供代码，不会做详细讲解
2.1.4.1 叔叔节点为红色
此时，为了使红色节点不连续出现，并且保持每条路径的黑色节点个数相等，我们需要对部分节点的颜色进行调整：
爷爷节点的颜色改为红色
叔叔节点和父节点的颜色改为黑色
调节过后，如果爷爷节点的父亲仍为红色，则要继续向上调节
需要注意，上图中的爷爷节点就是整棵树的根节点，而规定红黑树的根节点是黑色的，因此调整完过后需要注意将根节点改为黑色
2.1.4.2 叔叔节点不存在/叔叔节点为黑色
在向上调整的过程中，我们可能会遇到叔叔节点不存在或者叔叔节点为黑色的情况：
此时，我们不能像叔叔节点为红色的情况一样，简单的将父节点变黑，爷爷节点变红来解决问题：
针对这种情况，我们需要根据parent节点相对grandparent的位置以及cur节点相对parent节点的位置，通过旋转来解决问题：
2.1.4.2.1 父节点parent为爷爷节点grandparent的左
情况一：cur为parent的左
如图：
此时，我们需要对
grandparnet节点进行右单旋操作：
将
parent的右孩子链接给grandparent的左孩子将
grandparent链接给parent的右孩子
最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：
grandparent的颜色红parnet的颜色变黑
对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：
调整完毕
需要清楚的是
调整后和插入节点前相比，该树每条路径的黑色节点的总个数并没有被改变，并且新的根为黑色
如果该树是其他树的子树，尽管插入了一个节点，但是经过旋转调整过后并不会影响到其他节点，因此可以直接结束插入过程
情况二：cur为parent的右：
如图：
此时，我们需要对
grandparent进行左右双旋操作：
- 首先对
parent进行左单旋- 再对
grandparent进行右单旋
最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：
cur的颜色变黑grandparent的颜色变红
对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：
调整完毕
同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程
2.1.4.2.2 父节点parent为爷爷节点grandparent的右
情况一：cur为parent的右
如图：
此时，我们需要对
grandparnet节点进行左单旋操作：
将
parent的左孩子链接给grandparent的右孩子将
grandparent链接给parent的左孩子
最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：
grandparent的颜色红parnet的颜色变黑
对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：
调整完毕
同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程
情况二：cur为parent的左：
如图：
此时，我们需要对
grandparent进行右左双旋操作：
- 首先对
parent进行右单旋- 再对
grandparent进行左单旋
最后，调节节点的颜色，使其满足红黑树的条件：
cur的颜色变黑grandparent的颜色变红
对于叔叔节点不存在的情况，也执行相同的操作：
调整完毕
同样，假设这棵树是一棵树的子树，经过旋转调节过后也不会影响到其他点节点，可以直接结束插入过程
2.1.4.3 旋转操作
左单旋：
旋转步骤为：
cur的左子树链接给parent的右子树parent链接给cur的左子树
代码：
void rotatel(node* parent) { node* pparent = parent->_parent; node* parentr = parent->_right; node* parentrl = parentr->_left; parent->_right = parentrl; //考虑cur->_left为空的情况，防止空节点的访问 if (parentrl) parentrl->_parent = parent; parentr->_left = parent; parentr->_parent = pparent; parent->_parent = parentr; //如果cur就是_root根节点，那么就要更新根节点 if (pparent == nullptr) _root = parentr; else //否则就要将新的根（即cur）链接给上级节点 { if (parent == pparent->_left) pparent->_left = parentr; else pparent->_right = parentr; } }
右单旋：
旋转步骤为：
cur的右子树链接给parent的左子树parent链接给cur的右子树
代码：
void rotater(node* parent) { node* pparent = parent->_parent; node* parentl = parent->_left; node* parentlr = parentl->_right; parent->_left = parentlr; //考虑cur->_right为空的情况 if (parentlr) parentlr->_parent = parent; parentl->_right = parent; parent->_parent = parentl; parentl->_parent = pparent; //如果cur就是_root根节点，那么就要更新根节点 if (pparent == nullptr) _root = parentl; else //否则就要将新的根（即cur）链接给上级节点 { if (parent == pparent->_left) pparent->_left = parentl; else pparent->_right = parentl; } }
左右双旋：
旋转步骤为：
- 先对cur为根的树进行左单旋
- 再对parent为根的树进行右单旋
代码：
void rotatelr(node* parent) { node* parentl = parent->_left; //即图中的cur节点 node* parentlr = parentl->_right; //即图中的parentlr节点 rotatel(parentl); //先对cur为根的树进行左单旋 rotater(parent); //再对parent为根的树进行右单旋 }
右左双旋：
操作步骤为：
- 先对cur为根的树进行右单旋
- 再对parent为根的树进行左单旋
代码：
void rotaterl(node* parent) { node* parentr = parent->_right; //即为图中提到的cur节点 node* parentrl = parentr->_left; //即为图中提到的parentrl节点 rotater(parentr); //先对cur为根的树进行右单旋 rotatel(parent); //再对parent为根的树进行左单旋 }
2.1.5 插入节点代码
bool insert(const pair kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
_root->_color = black;
return true;
}
//找到插入位置
node* cur = _root;
node* parent = nullptr;
while (cur)
{
parent = cur;
if (cur->_kv.first > kv.first)
cur = cur->_left;
else if (cur->_kv.first < kv.first)
cur = cur->_right;
else
return false;
}
cur = new node(kv);
cur->_parent = parent;
if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
//更新颜色，调节平衡
while (parent && parent->_color != black)
{
node* grandparent = parent->_parent;
//如果父节点为爷爷节点的左
if (parent == grandparent->_left)
{
node* uncle = grandparent->_right;
//如果叔叔存在且叔叔节点为红色
if (uncle && uncle->_color == red)
{
parent->_color = black;
uncle->_color = black;
grandparent->_color = red;
//继续向上调整
cur = grandparent;
parent = grandparent->_parent;
}
else //如果叔叔节点不存在或叔叔节点为黑色
{
//如果cur为父节点的左，就进行右单旋
if (cur == parent->_left)
{
rotater(grandparent);
grandparent->_color = red;
parent->_color = black;
}
else //如果cur为父节点的右，就进左右双旋
{
rotatelr(grandparent);
cur->_color = black;
grandparent->_color = red;
}
break; //旋转过后必定满足红黑树条件，直接结束插入
}
}
else //如果父节点为爷爷节点的右
{
node* uncle = grandparent->_left;
//如果叔叔存在且叔叔节点为红色
if (uncle && uncle->_color == red)
{
parent->_color = black;
uncle->_color = black;
grandparent->_color = red;
//继续向上调整
cur = grandparent;
parent = grandparent->_parent;
}
else //如果叔叔节点不存在或叔叔节点为黑色
{
//如果cur为父节点的右，就进行左单旋
if (cur == parent->_right)
{
rotatel(grandparent);
grandparent->_color = red;
parent->_color = black;
}
else //如果cur为父节点的左，就进右左双旋
{
rotaterl(grandparent);
cur->_color = black;
grandparent->_color = red;
}
break; //旋转过后必定满足红黑树条件，直接结束插入
}
}
}
_root->_color = black; //直接将根节点的颜色设置为黑色
return true;
}
2.3 检查一棵树是否为红黑树
为了验证我们的插入算法是否正确，我们需要写一个isbalance函数来进行检验：
我么可以根据红黑树的两个性质来实现这个函数；
红色节点不能重复出现
每条路径的黑色节点个数相同
对于第一个性质：
- 容易想到的一个方法是：递归遍历这棵树，每遍历到一个节点，就检查该节点是否和它的左孩子或者右孩子同时为红色
- 但是，上面的方法书写起来较为复杂。我们可以换一种思路：每遍历到一个节点，就检查它和它的父节点是否同时为红色
对于第二个性质：
- 我们需要求出每条路径的黑色节点的个数
- 而所谓路径，就是从根节点出发，到达空节点所经过的节点
- 因此，我们可以利用一个参数来记录遍历到当前节点时黑色节点的总个数
- 为了方便比较，我么可以预先求出一条路径的黑色节点总个数作为基准值
- 之后，当遍历到空节点时，就可以拿记录黑色节点个数的参数与基准值进行比较了
实现代码；
bool isbalance()
{
if (_root && _root->_color != black)
return false;
//以最左路径的黑色节点纵作为基准值
int refblacknum = 0;
node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_color == black)
refblacknum ;
cur = cur->_left;
}
return cheak(_root, 0, refblacknum);
}
bool cheak(node* root, int curblacknum, int refblacknum)
{
//如果遍历到空节点就要拿curblacknum与基准值refblacknum进行比较
if (root == nullptr)
{
if (curblacknum == refblacknum)
return true;
else
{
cout << root->_kv.first << "改路径黑色节点的数量与最左路径黑色节点数量不同" << endl;
return false;
}
}
//如果当前节点和父节点同时为红色，则不满足红黑树条件
if (root->_color == red && root->_parent->_color == red)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红色节点" << endl;
return false;
}
//如果当前节点为黑色，则当前路径的黑色节点个数加1
if (root->_color == black)
curblacknum ;
return cheak(root->_left, curblacknum, refblacknum) && cheak(root->_right, curblacknum, refblacknum);
}
2.4 avl树与红黑树
如今，我们已经学习了两颗自平衡的搜索二叉树：avl树与红黑树
现在，我们来对二者进行一个简单的对比：
avl树规定：每个节点的左右子树的高度差不大于1
红黑树的性质决定：最长路径的长度不大于最短路径的两倍
从上面的两个特性我们可以得出两个结论：
- avl树的平衡条件比红黑树更加严格，因此avl树也比红黑树更加平衡。就查找效率来说，avl树是要比红黑树略高的。但是，由于二者都是平衡搜索二叉树，查找特定的元素的时间复杂度都是
o(logn)- 由于avl树的平衡条件比红黑树要更加严格，因此维护其平衡也会更加复杂，同样是要删除或者插入一个元素，avl树往往会比红黑树经历更多的旋转操作，这也就导致了在插入和删除元素的效率上，avl树是不及红黑树的
可以做出总结：
- 如果需要频繁的查找树中的元素，而插入和删除元素的操作相对较少，可以优先使用avl树
- 如果需要频繁的插入或删除元素，而查找元素的次数相对较少，可以优先使用红黑树
事实上，我们后面将学到的关联式容器map和set的底层结构就是红黑树