应用场景-修路问题
1) 有胜利乡有 7 个村庄(a, b, c, d, e, f, g) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示( 权) 如 ，比如 a – – b 离 距离 5 公里
3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.
最小生成树
修路问题本质就是就是 最小生成树问题， ， 先介绍一下最小生成树(minimum cost spanning tree)， ， 简称 mst 。
给定一个带权的无向连通图, 如何选取一棵生成树, 使树上所有边上权的总和为最小, 这叫最小生成树
1) n 个顶点，一定有 n-1 条边
2) 包含全部顶点
3) n-1 条边都在图中
4) 举例说明( 如图:)
5) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法介绍
普利姆(prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的
连通子图，也就是所谓的极小连通子图
普利姆的算法如下:
1) 设 g=(v,e)是连通网，t=(u,d)是最小生成树，v,u 是顶点集合，e,d 是边的集合
2) 若从顶点 u 开始构造最小生成树，则从集合 v 中取出顶点 u 放入集合 u 中，标记顶点 v 的 visited[u]=1
3) 若集合 u 中顶点 ui 与集合 v-u 中的顶点 vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将
顶点 vj 加入集合 u 中，将边（ui,vj）加入集合 d 中，标记 visited[vj]=1
4) 重复步骤②，直到 u 与 v 相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时 d 中有 n-1 条边
5) 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
6) 图解普利姆算法
普里姆算法最佳实践(修路问题)
1) 有胜利乡有 7 个村庄(a, b, c, d, e, f, g) ，现在需要修路把 7 个村庄连通
2) 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 a – b 距离 5 公里
3) 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
4) 代码实现:
package com.example.demo.prim;
import java.util.arrays;
public class primalgorithm {
public static void main(string[] args) {
//测试看看图是否创建 ok
char[] data = new char[]{'a','b','c','d','e','f','g'};
int verxs = data.length;
//邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
int [][]weight=new int[][]{
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}
};
//创建mgraph 对象
mgraph graph = new mgraph(verxs);
mintree mintree = new mintree();
mintree.creatgraph(graph,verxs,data,weight);
mintree.showgraph(graph);
system.out.println(arrays.tostring(graph.data));
mintree.prim(graph, 0);
}
}
//最小生成树
class mintree {
/**
*
* @param graph
* @param verxs 顶点个数
* @param data 顶点的值
* @param weight 邻接矩阵
*/
public void creatgraph(mgraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i,j;
for (i = 0; i < verxs; i ) { //顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j ) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
* @param graph
*/
public void showgraph(mgraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
system.out.println(arrays.tostring(link));
}
}
/**
* 得到最小生成树
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成 'a'->0 'b'->1
*/
public void prim(mgraph graph, int v) {
//visited[] 标记结点（顶点）是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
//把当前这个顶点标记为已访问
visited[v] = 1;
int minweight = integer.max_value;
int x = -1; //当前顶点能到达顶点的坐标
int y = -1;
//获取符合条件的verxs - 1 条边
for (int k = 1; k < graph.verxs ; k ) {
//遍历邻接矩阵
for (int i = 0; i < graph.verxs; i ) {
for (int j = 0; j < graph.verxs; j ) {
//查找开始顶点为v 的，并且从v 到另个顶点的权值最小的顶点和权值
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minweight) {
minweight = graph.weight[i][j];
x = i;
y = j;
}
}
}
system.out.println("edge: " graph.data[x] "->" graph.data[y] " weight: " graph.weight[x][y]);
//把y 置为已访问
visited[y] = 1;
//重置minweight 的值
minweight = integer.max_value;
}
}
}
class mgraph {
int verxs; //表示图的顶点个数
char[] data;//存放顶点数据
int[][] weight; //存放边，就是邻接矩阵
public mgraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
this.data = new char[verxs];
this.weight = new int[verxs][verxs];
}
}